Question

如图：在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AB=AA₁=a，BC=a，M、N分别是AD、BC的中点．

(Ⅰ)求证：B₁N∥平面A₁MB；

(Ⅱ)求二面角A₁-MB-A的大小；

(Ⅲ)求多面体MBCD-A₁B₁C₁D₁的体积．

Answer 1

解法一：(Ⅰ)连接MN，在长方体中，M、N分别是AD、BC的中点，

∴A₁B₁∥MN，A₁B₁=MN，

∴四边形A₁B₁MN是平行四边形，∴A₁M∥B₁N，

∵A₁M平面A₁MB，B₁N平面A₁MB，

∴B₁N∥平面A₁MB．

(Ⅱ)如图过A点作AE⊥MB于E，连接A₁E，

∵AA₁⊥平面ABCD，则AE是A₁E在平面ABCD上的射影，

由三垂线定理知：A₁E⊥MB，

∴∠A₁EA是二面角A₁-MB-A的平面角，

在Rt△AMB中，BM=，

由AE·MB=AM·AB，则AE=a,

在Rt△A₁AE中，tan∠A₁EA=，

∴∠A₁EA=，即二面角A₁-MB-A的大小是，

(Ⅲ)∵长方体ABCD- A₁B₁C₁D₁的体积为V=a³，

又∵三棱锥A₁-ABM的体积V₁=S_△ABMAA₁=a³,

∴多面体MBCD-A₁B₁C₁D₁的体积为

V-V₁=a³-a³=a³

解法二：(1)以D为原点，以射线DA、DC、DD₁分别为x、y、z的正半轴建立空间直角坐标系，可知各点坐标分别为

D(0,0,0)，A(a，0,0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，M(,0,0)

D₁(0,0，a)，A₁(a，0，a)，B₁(a,a，a)，N(a，a，0)．

∴=(-a，0，-a)，=(-a，0，-a)，

故=，即∥，

∵而B₁N在平面A₁MB内，A₁M在平面A₁MB外，

∴B₁N∥平面A₁MB；

(Ⅱ)设=(0，0，a)是平面AMB的一个法向量，

而=(0，-a，a)，=(a，0，a)，

设n=(x, y₁)是平面A₁MB的一个法向量，

则,解得  ∴n=(,1,1)，

∴二面角A₁-MB-A的大小即是n与的夹角

cos＜n，＞=，

∴n与的夹角是60°

即二面角A₁-MB-A的大小是60° 

(Ⅲ)∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积为V=a³，

又∵三棱锥A₁-ABM的体积V₁=S_△ABMAA₁=a³，

∴多面体MBCD-A₁B₁C₁D₁的体积为

V-V₁=