Question

一个容器的盖子用一个正四棱台和一个球焊接而成，球的半径为R，正四棱台的上、下底面边长分别为2.5R和3R，斜高为0.6R
（1）求这个容器盖子的表面积（用R表示，焊接处对面积的影响忽略不记）；
（2）若R=2cm，为盖子涂色时所用的涂料每0.4kg可以涂1m²，计算100个这样的盖子约需涂料多少kg（精确到0.1kg）

Answer 1

分析：（1）由已知中一个容器的盖子用一个正四棱台和一个球焊接而成，球的半径为R，正四棱台的上、下底面边长分别为2.5R和3R，斜高为0.6R，我们分别将已知中的数据代入球的表面积公式和棱台的表面积公式，即可求出答案．
（2）由（1）的结论，我们将R=2cm，代入可计算出每个盖子的表面积，进而求出100个盖子的面积后，根据为盖子涂色时所用的涂料每0.4kg可以涂1m²，即可求出需涂料的重量．

解答：解：（1）∵球的半径为R
∴球的表面积为4πR²
又∵四棱台的上、下底面边长分别为2.5R和3R，
则四棱台的上、下底面积分别为6.25R²和9R²
又由正四棱台的斜高为0.6R
则四棱台的侧面积为4×

1

2

×（2.5R+3R）×0.6R=6.6R²
∴容器盖子的表面积S=（21.85+4π）R²
（2）由（1）得
S=（21.85+4π）R²
R=2cm时，S=（87.4+16π）cm²
100个这样的盖子约需涂料为（87.4+16π）×100÷10000×0.4kg≈0.6kg

点评：本题考查的知识点是棱台的表面积和球的表面积，其中根据已知条件结论空间几何体的表面积公式求出几何体的表面积是解答本题的关键．