Question

已知y=f（x）（x≠0）对任意x₁，x₂恒有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）
（1）求f（1）的值；
（2）求证：f（x）是偶函数；
（3）若f（x）在（0，+∞）上是增函数，解不等式f（log₂x）＞0．

Answer 1

分析：（1）由f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），令x₁=x₂=1可求f（1）
（2）令x₁=x₂=-1，结合f（1）可求f（-1），x₂=-1，则可得，f（-x₁）=f（x₁）+f（-1）=f（x₁）可证
（3）由f（x）在（0，+∞）上是增函数可得函数在（-∞，0上是减函数，由f（log₂x）＞0=f（1）=f（-1）可得|log₂x|＞1，解不等式可求

解答：解：（1）∵任意x₁，x₂恒有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）
令x₁=x₂=1
∴f（1）=f（1）+f（1）=2f（1）
∴f（1）=0
证明：（2）∵任意x₁，x₂恒有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）
令x₁=x₂=-1，可得，f（1）=2f（-1）=0
∴f（-1）=0
令x₂=-1，则可得，f（-x₁）=f（x₁）+f（-1）=f（x₁）
∴函数f（x）为偶函数
（3）∵f（x）在（0，+∞）上是增函数
由偶函数的性质可得，函数在（-∞，0上是减函数
∵f（log₂x）＞0=f（1）=f（-1）
∴|log₂x|＞1
∴log₂x＞1或log₂x＜-1
∴x＞2或0＜x＜

1

2

点评：本题主要考查了利用赋值求解抽象函数的函数值，证明函数为偶函数及利用偶函数的单调性的性质解对数不等式．