Question

已知3sinα＝sin(α＋2β)，求证：tan(α＋β)＝2tanβ．

Answer 1

答案：
解析：

思路分析：观察条件等式和结论等式中的角，条件中含有β、2α＋β，结论中含有α＋β、α，若从条件入手，可采用角的变换，α＝(α＋β)－β，2α＋β＝(α＋β)＋β，展开后转化成齐次整式，约分得出结论． 　　证明：∵3sinα＝3sin[(α＋β)－β] 　　＝3sin(α＋β)cosβ－3cos(α＋β)sinβ， 　　sin(α＋2β)＝sin[(α＋β)＋β] 　　＝sin(α＋β)cosβ＋cos(α＋β)sinβ， 　　又3sinα＝sin(α＋2β)， 　　∴3sin(α＋β)cosβ－3cos(α＋β)sinβ＝sin(α＋β)cosβ＋cos(α＋β)sinβ． 　　∴2sin(α＋β)cosβ＝4cos(α＋β)sinβ． 　　∴tan(α＋β)＝2tanβ． 　　方法归纳：对条件恒等式的证明，若条件复杂，可从化简条件入手得出结论；若结论复杂，可化简结论；若条件和结论都较为复杂，可同时化简它们，直到找到它们间的联系． 　　深化升华：三角恒等式的证明实质就是由一种结构形式转化为另一种结构形式．因此证明恒等式的基本思路是：证明等式时必须仔细观察等式两边结构上的差异，然后分析这些差异和联系，最后从解决差异入手，施行适当的变换，直至消除这些差异完成恒等式的证明．