Question

平面内有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点,_____________________.(先在直线上填上一个结论,然后再解答)

Answer 1

构建问题：求证：这n个圆把平面分成n²-n+2个部分.

思路分析：用数学归纳法证明几何问题，主要是搞清楚当n=k+1时比当n=k时，分点增加了多少，区域增加了几块，是怎样增加的.本题中第k+1个圆被原来的k个圆分成了2k条弧，而每一条弧把它所在部分分成了两块，此时共增加了2k个部分，问题就得到了解决.

证明：(1)当n=1时，一个圆把平面分成两部分，1²-1+2=2，故命题成立.

(2)假设当n=k时命题成立(k∈N^*)，

即k个圆把平面分成k²-k+2个部分.

当n=k+1时，这k+1个圆中的k个圆把平面分成了k²-k+2个部分，第k+1个圆被前k个圆分成2k条弧，每条弧把它所在的部分分成了两块，这时共增加了2k个部分，即k+1个圆把平面分成(k²-k+2)+2k=(k+1)²-(k+1)+2个部分，即当n=k+1时命题也成立.

由(1)(2)知，对一切n∈N^*，命题都成立.