Question

如图所示的多面体中，EF丄平面AEB，AE丄EB，AD∥EF，BC∥EF，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中点
（1）求证：BD丄EG；
（2）求平面DEG与平面DEF所成二面角的大小．

Answer 1

（1）证明：∵EF丄平面AEB，AE?平面AEB，BE?平面AEB
∴EF⊥AE，EF⊥BE
∵AE丄EB，∴EB，EF，EA两两垂直
以点E为坐标原点，EB，EF，EA分别为x，y，z，建立如图所示的空间直角坐标系，则E（0，0，0），B（2，0，0），D（0，2，2），G（2，2，0）
∴，
∴
∴BD丄EG；
（2）解：已知得是平面DEF的法向量
设平面DEG的法向量为，∵，
∴，∴可取
设平面DEG与平面DEF所成二面角θ
∴=
∴平面DEG与平面DEF所成二面角为．
分析：（1）先证明EB，EF，EA两两垂直，以点E为坐标原点，EB，EF，EA分别为x，y，z，建立空间直角坐标系，证明，即可证明BD丄EG；
（2）是平面DEF的法向量，平面DEG的法向量为，利用数量积公式，即可得到平面DEG与平面DEF所成二面角．
点评：本题考查线线垂直，考查面面角，解题的关键是建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量，属于中档题．