题目内容

已知二次函数f（x）=x2+2（10-3n）x+9n2-61n+100，其中n∈N*．
（Ⅰ）设函数y=f（x）的图象的顶点的横坐标构成数列{an}，求证：数列{an}为等差数列；
（Ⅱ）设函数y=f（x）的图象的顶点到y轴的距离构成数列{dn}，求数列{dn}的前n项和Sn．
（Ⅰ）由二次函数y=f（x）的对称轴为x=3n-10得an=3n-10
∵对n∈N且n≥2，有an-an-1=3
∴{an}为等差数列．
（Ⅱ）由题意，dn=|an|，即 dn=
10-3n(1≤n≤3)
3n-10(n≥4)

∴当1≤n≤3时，Sn=
7+10-3n
2
•n=
17n-3n2
2

当n≥4时，Sn=7+4+1-（-2-5+…+10-3n）=
3n2-17n+48
2

∴Sn=
17n-3n2
2
(1≤n≤3)
3n2-17n+48
2
(n≥4)
练习册系列答案
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已知二次函数f（x）=x2+2（m-2）x+m-m2．
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已知二次函数f（x）=x2-16x+q+3．
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（2）若记区间[a，b]的长度为b-a．问：是否存在常数t（t≥0），当x∈[t，10]时，f（x）的值域为区间D，且D的长度为12-t？请对你所得的结论给出证明．
（2013•广州一模）已知二次函数f（x）=x2+ax+m+1，关于x的不等式f（x）＜（2m-1）x+1-m2的解集为（m，m+1），其中m为非零常数．设g(x)=
f(x)x-1
．
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（2）已知二次函数f（x）的图象的顶点是（-1，2），且经过原点，求f（x）的解析式．

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