Question

已知函数f（x）=3x⁴-4（a+1）x³+6ax²-12（a＞0），
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）当a=2时，求函数f（x）的极大值．

Answer 1

分析：（1）先求函数的导数，令导数大于0，解得x的范围为函数的增区间．因为题目中含有参数a，要对参数进行讨论．
（2）当a=2时，求导数，令导数等于0，解得x的值，为函数的极值点，再判断极值点左右两侧导数的正负，若左正右负时，该点处为函数的极大值，再求出极大值即可．

解答：解：（1）f'（x）=12x（x-a）（x-1）
0＜a＜1时，f'（x）＞0，0＜x＜a，或x＞1，
f（x）在[0，a]和[1，+∞]上递增；
a=1时，f'（x）＞0?x＞0且x≠1，f（x）在[0，+∞）上递增；
a＞1时f'（x）＞0?0＜x＜1或x＞a，f（x）在[0，1]，[a，+∞]上递增．
（2）a=2时，f′（x）=0得x=0，x=1，x=2，
∴f（x）在（-∞，0）上递减，在[0，1]上递增，
在[1，2]上递减，在[2，+∞）上递增
∴a=2时，f（x）有极大值-9．

点评：本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，以及求函数的极值，注意解题时对参数进行讨论．