Question

锐角三角形ABC中，若A=2B，A，B，C所对的边分别为a，b，c．则下列四个结论：
①sin3B=sin2C②tan

3B

2

tan

C

2

=1③

π

6

＜B＜

π

4

④

a

b

∈(

2

，

3

]
其中正确的是

②③④

．

Answer 1

分析：锐角三角形ABC中，由A=2B，可以由此解出B的取值范围，再由此范围对四个命题进行判断，得出真假

解答：解：∵锐角三角形ABC中，若A=2B
∴

2B＜ π 2 3B＞ π 2

∴

π

6

＜B＜

π

4

由于3B+C=π，故有sin3B=sinC，所以sin3B=sin2C不成立，①错误；
由于3B+C=π，可得

3B

2

+

C

C

=

π

2

，故有tan

3B

2

tan

C

2

=1，②正确；
由前解知

π

6

＜B＜

π

4

故③正确；
由于

a

b

=

sin2B

sinB

=2cosB，又

π

6

＜B＜

π

4

，故有2cosB∈(

2?

，

3?

]，即得

a

b

∈(

2

，

3

]正确
综上，②③④正确，
故答案为：②③④．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，解题的关键是熟练掌握三角中的相关公式，对条件锐角三角形ABC中，A=2B的正确转化是本题的难点