Question

设a＞0，函数f(x)=

alnx

x

（1）讨论f（x）的单调性
（2）求f（x）在区间[a，2a]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）首先求出函数的导数，然后令f′（x）=0，解出函数的极值点，最后根据导数判断函数的单调性，从而求解；
（2）由（1）求出f（x）的单调区间，然后根据其单调性求出f（x）在区间[a，2a]上的最小值；

解答：解：（1）∵函数f(x)=

alnx

x

（x＞0），
∴f′（x）=

a(1-lnx)

x2

∵a＞0，所以判断1-lnx的符号，
当0＜x＜e时，f′（x）＞0，为增函数，
当x＞e时，f′（x）＜0，为减函数，
∴x=e为f（x）的极大值，
∴f（x）在（0，e）上单调递增；（e，+∞）是减函数．
（2）∵f（x）在（0，e）上单调递增；（e，+∞）是减函数
∴当a≤2e，x=a时有最小值，为f（a）=

alna

a

=lna．
当a＞2e，x=2a时有最小值，为f（a）=

aln(2a)

2a

=ln

ln(2a)

2

．

点评：此题主要考查对数函数的导数，函数单调性的判定，函数最值，函数、方程与不等式等基础知识，一般出题者喜欢考查学生的运算求解能力、推理论证能力及分析与解决问题的能力，要求学生会用数形结合的思想、分类与整合思想，化归与转化思想、有限与无限的思想来解决问题．