Question

（2014•江门模拟）如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA⊥CB，CA=CB=1，棱AA₁=2，M、N分别是A₁B₁、A₁A的中点．
（1）求证：C₁N⊥平面BCN；
（2）求直线B₁C与平面C₁MN所成角θ的正弦值．

Answer 1

分析：（1）由已知中CA=CB=1，棱AA₁=2，M、N分别是A₁B₁、A₁A的中点，结合正棱柱的几何特征，易得∠ANC=∠A1NC1=

π

4

，进而C₁N⊥NC，由CA⊥CB，BC⊥CC₁，结合线面垂直的判定定理及性质可得BC⊥C₁N，最后再由线面垂直的判定定理得到C₁N⊥平面BCN；
（2）（方法一）以C为原点，CA、CB、CC₁在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求直线B₁C的方向向量与平面C₁MN的一个法向量，代入向量夹角公式可得直线B₁C与平面C₁MN所成角θ的正弦值．
（方法二）根据相似三角形的判定可得，△BAN\～△NA1M，进而BN⊥MN，结合（1）中BN⊥C₁N，可得BN⊥平面C₁MN，延长B₁B到B₂，延长C₁C到C₂，使BB₂=CC₂=2，连接BC₂、NC₂，解△NBC₂中，结合BN是平面C₁MN的法向量，由所作知BC₂∥B₁C，可得答案．

解答：证明：（1）∵CA=CB=1，棱AA₁=2，M、N分别是A₁B₁、A₁A的中点．
∴CA=AN=NA₁=A₁C₁=1，
又由AA₁⊥底面ABC，AA₁⊥底面A₁B₁C₁
∴∠ANC=∠A1NC1=

π

4

…（1分），
∴∠CNC1=

π

2

，
即C₁N⊥NC…（2分），
因为CA⊥CB，BC⊥CC₁，AC∩CC₁=C，
所以BC⊥平面CAA₁C₁…（3分），
又∵C₁N?平面CAA₁C₁，
∴BC⊥C₁N…（4分），
因为BC∩NC=C，
所以C₁N⊥平面BCN…（5分）
解：（2）（方法一）以C为原点，CA、CB、CC₁在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系…（6分），
则C（0，0，0）、C₁（0，0，2）、B₁（0，1，2）…（7分），M(

1

2

，

1

2

，2)、N（1，0，1）…（8分），

C1M

=(

1

2

，

1

2

，0)、

C1N

=(1，0，-1)、

CB1

=(0，1，2)…（9分），
设平面C₁MN的一个法向为

n

=(a，b，c)，则

n • C1M =0 n • C1N =0

…（10分），
即

a+b=0 a-c=0

，取

n

=(1，-1，1)…（11分），
所以sinθ=|cos＜

n

，

CB1

＞|=

| n • CB1 |

| n || CB1 |

=

15

15

…（13分）．
（方法二）

A1M

A1N

=

AN

AB

=

2

2

，∠BAN=∠NA1M=

π

2

，△BAN\～△NA1M…（6分），
所以∠BNA=∠A₁MN，∠MNB=

π

2

，BN⊥MN…（7分），
由（1）知BN⊥C₁N，C₁N∩MN=N，所以BN⊥平面C₁MN…（8分）．
延长B₁B到B₂，延长C₁C到C₂，使BB₂=CC₂=2，连接BC₂、NC₂…（9分），
在△NBC₂中，BN=

3

，BC2=

5

，NC2=

10

…（10分），
cos∠NBC2=

BN2+BC22-NC22

2BN×BC2

…（11分），
=-

15

15

BN是平面C₁MN的法向量，由所作知BC₂∥B₁C，
从而θ=∠NBC2-

π

2

，所以sinθ=-cos∠NBC2=

15

15

…（13分）．

点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，直线与平面垂直的判定，是空间线面关系的综合应该，难度较大，属于难题．