Question

已知函数f（x）=log

1

2

（e^x-1）．
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的增减性，并用定义法证明．

Answer 1

分析：（1）根据对数函数成立的条件，即可求出函数的定义域．
（2）根据函数单调性的定义进行证明即可．

解答：解：（1）要使函数有意义，则e^x-1＞0，
即e^x＞1，
∴x＞0，
即函数的定义域为（0，+∞）．
（2）函数的单调性为单调减函数．
设x₂＞x₁＞0，
则f(x2)-f(x1)=log?

1

2

ex2-1

ex1-1

，
∵x₂＞x₁＞0，
∴ex2＞ex1＞1，
即

ex2-1

ex1-1

＞1，
∴f(x2)-f(x1)=log?

1

2

ex2-1

ex1-1

＜0，
即f（x₂）＜f（x₁），
∴函数为单调递减函数．

点评：本题主要考查对数函数的性质和单调性的证明，利用函数单调性的定义是解决本题的关键．