Question

已知函数f(x)=ax-x²的最大值不大于，又当x∈时，f(x)≥. 

   (1)求a的值;   (2)设0<a₁＜，a_n+1=f(a_n)，n ∈N^*，证明：a_n＜.

 

Answer 1

 [考场错解]  第(1)问，∵f(x)=ax-x²=-(x-a)²+． ∴≤，即a²≤1-1≤a≤1   ①

    又当x∈时,f(x)≥，即f(x) ≥在上恒成立≤f(x)在上的最小值为f()  ∴f()≥．即≥.    ②   综合，①，②知≤a≤1．

  [专家把脉]  上面解答错在f(x)在的最小值的计算上，由①得-1≤a≤1．∴∈(-,)，

∴对称轴x=离端点较远，因此,f(x)的最小值应是f().而不是f().

     [对症下药]  (1)由于f(x)=ax-x²=-(x-)²+

∴f(x)的最大值为.∴≤,即a²≤1．∴-1≤a≤1

又x∈时，f(x)≥，即f(x)≥在上恒成立．∴≤[f(x)]_min.由①得-1≤a≤1．∴-≤a≤.∴f(x)在上的最小值为f()=-.∴-≥．解得a≥1    ②

由①,②得a=1.

(2)(i)当n=1时,0＜a₁<，不等式0<a_n<成立.因f(x)>0，x∈(0，)，所以0<a₂=f(a₁)≤＜.故n=2时，不等式也成立.

(ⅱ)假设n=k(k≥2)时，不等式0＜a_k＜成立，因为f(x)=x-x²的对称轴x=知f(x)在[0，]上为增函数，所以0<a_k<≤得0<f(a_k)<f()

于是有0<a_k+1<-·.

所以当n=k+1时，不等式也成立. 根据(ⅰ)(ⅱ)可知，对任何n∈N^*，不等式a_n＜成立.