Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=x．
（Ⅰ）若x＞1，求证：f(x)＞2g(

x-1

x+1

)；
（Ⅱ）求实数k的取值范围，使得方程

1

2

g(x2)-k=2f(1+|x|)有四个不同的实数根．

Answer 1

（Ⅰ）令F(x)=f(x)-2g(

x-1

x+1

)=lnx-2

x-1

x+1

，F′(x)=

1

x

-

4

(x+1)2

=

(x-1)2

x(x+1)2

．
当x＞1时，F'（x）＞0 恒成立，∴F（x）在（1，+∞）上是增函数．
∵F（x）在x=1 处连续，∴F（x）＞F（1）．
∵F（1）=0，∴当x∈（1，+∞）时，F（x）＞0 恒成立．
∴f(x)＞2g(

x-1

x+1

)．
（Ⅱ）原方程化为

1

2

g(x2)-2f(1+|x|)=k，
令G(x)=

1

2

g(x2)-2f(1+|x|)，则G(x)=

1

2

x2-2ln(1+|x|)．
∵G（-x）=G（x），∴G（x）是偶函数．
当x≥0时，G(x)=

1

2

x2-2ln(1+x)（x≥0），
则G′(x)=x-

2

1+x

=

x2+x-2

1+x

．
∵x≥0，∴令G'（x）=0，得x=1．
当x∈[0，1），G'（x）＜0，G（x）单调递减；
当x∈（1，+∞），G'（x）＞0，G（x）单调递增．
∴x≥0时，在x=1处G（x）取得极小值为G（1）=

1

2

-2ln2．
又G（0）=0，∴当k∈（

1

2

-2ln2，0）时函数G(x)=

1

2

x2-2ln(1+x)（x≥0）与y=k 有两个不同的交点．
∵G（x）是偶函数，
∴G（x）=k在k∈（

1

2

-2ln2，0）时有四个不同的实数根．