题目内容
（本小题满分13分）
如图，在三棱锥
中，
，
，侧面
为等边三角形，侧棱
．
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）求证：平面
平面
；
（Ⅲ）求二面角
的余弦值．
（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）设
中点为
，连结
，
，………… 1分
因为
，所以
.
又
，所以
. ………………… 2分
因为
，所以
平面
.
因为
平面，所以
. ……… 4分
（Ⅱ）由已知
，
，
所以
，
.
又
为正三角形，且，所以
. …………………… 6分
因为
，所以
.
所以
.
由（Ⅰ）知
是二面角
的平面角.
所以平面
平面
. …………………………………………… 8分
（Ⅲ）方法1：由（Ⅱ）知
平面
.
过作
于
，连结
，则
.
所以
是二面角
的平面角. ………………………………… 10分
在
中，易求得
.
因为
，所以
. ………………………… 12分
所以
.
即二面角的余弦值为
. …………………………………… 13分
方法2：由（Ⅰ）（Ⅱ）知
，
，
两两垂直. ……………………… 9分
以为原点建立如图所示的空间直角坐标系.
易知
，
，
，
.
所以
，
. ……………………… 10分
设平面
的法向量为
，
则
即
令
，则
，
.
所以平面的一个法向量为
. ……………………… 11分
易知平面的一个法向量为
.
所以
. …………………………………… 12分
由图可知，二面角为锐角.
所以二面角的余弦值为. …………………………………… 13分
练习册系列答案
相关题目
.
的最小正周期和最大值；
在区间
上的图象.
,且方程
有两个不同的实数根，求实数m的取值范围.
的函数
是奇函数.
的值；（2）判断函数
的单调性;
，不等式恒成立
，求k的取值范围．
, 
,
.
（∁
; （2）若
,求
的取值范围.
的所有棱长都为2，
为
的中点。
∥平面
；
所成的角。www.7caiedu.cn
为锐角，且
，函数
，数列{
}的首项
.
的表达式；
中，若
A=2
,BC=2,求
的前
项和