Question

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的顶点都在球面上，若AA₁=2，BC=1，∠BAC=150°，则该球的体积是________．

Answer 1

分析：画出球的内接直三棱ABC-A₁B₁C₁，利用球心到各个顶点的距离都等于球的半径求出球的半径，然后可求球的体积．
解答：解：直三棱ABC-A₁B₁C₁的各顶点都在同一球面上，如图，连接上下底面外心P、Q，O为PQ的中点，OP⊥平面ABC，则球的半径为OA，
由BC=1，∠BAC=150°，
由正弦定理，即，r=1，
可得△ABC外接圆半径r=AP=1，
在Rt△OAP中，OP=PQ=AA₁=1
易得球半径：，
∴=，
所以球的体积为：V=
∴V==．
故答案为：．
点评：本题考查球的体积，球的内接体等问题，考查学生空间想象能力、理解能力，是基础题．