Question

在数列{a_n} 中，a1=1，a_n=2（a_n-1-1）+n（n≥2，n∈N^*）
（1）求a₂，a₃的值；
（2）证明：数列{a_n+n}是等比数列，并求{a_n} 的通项公式；
（3）求数列{a_n} 的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）令递推关系中的n分别取2，3求出a₂，a₃的值．
（2）利用已知的递推关系求出

an+1+n+1

an+ n

的值是常数，据等比数列的定义得证；利用等比数列的通项公式
求出a_n+n通过解方程求出a_n
（3）通过分组，再利用等比数列及等差数列的前n项和公式求出数列{a_n} 的前n项和S_n．

解答：解：（1）a₁=1，a_n=2a_n-1+n-2（n≥2，n∈N^*）
∴a₂=2a₁+2-2=2…（2分）
a₃=2a₂+3-2=5…（4分）
（2）证明：∵

an+1+n+1

an+ n

=

(2an+n-1)+n+1

an+n

=2
∴数列{a_n+n}是首项为a₁+1=2公比为2的等比数列…（7分）
a_n+n=2•2^n-1=2ⁿ，即a_n=2ⁿ-n
∴{a_n}的通项公式为a_n=2ⁿ-n…（9分）
（3）∵{a_n}的通项公式为a_n=2ⁿ-n
∴S_n=（2+2²+2³+…+2ⁿ）-（1+2+3+…+n）…（11分）
=

2(1-2n)

1-2

-

n(n+1)

2

=2n+1-

n2+n+4

2

…（12分）

点评：证明数列是特殊数列常用的方法是定义法；求数列的前n项和时关键是判断出数列通项的特点，然后选择合适的方法．