Question

【题目】函数.

（I）函数在点处的切线与直线垂直，求a的值；

（II）讨论函数的单调性；

（III）不等式在区间上恒成立，求实数a的取值范围.

Answer 1

【答案】（I）（II）当时，函数f(x)在区间上是单调递增；

当时，函数f(x)在区间上单调递增；在区间上单调递减；在区间上单调递增（III）．

【解析】试题分析：（I）求导，利用导数的几何意义与两直线垂直的判定进行求解；（II）求导，讨论二次方程的根的个数、根的大小关系，进而判定其单调性；（III）分离常数，转化为求函数的求值问题.

试题解析：（I）函数定义域为

由题意 ，解得.

（II）

（i）当 时，，函数f(x) 在 上单调递增；

（ii）当 时，函数f(x)在区间上单调递增；在区间上单调递减；在区间上单调递增

（iii）当 时，，函数f(x) 在 上单调递增；

综上所述：当时，函数f(x)在区间上是单调递增；

当时，函数f(x)在区间上单调递增；在区间上单调递减；在区间上单调递增

（III）等价于

令

在区间(0,1)上，函数g(x)为减函数；

在区间上，函数g(x)为增函数；

所以实数的范围是．