Question

【题目】已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜ ）的部分图象如图．

（1）求f（x）的解析式；
（2）将函数y=f（x）的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 倍，再将所得函数图象向右平移 个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）的单调递增区间．

Answer 1

【答案】
（1）解：根据f（x）的图象可得 T= × = ﹣ ，∴ω=1．

根据五点法作图可得 1× +φ= ，求得 φ= ．

再把（0，1）代入函数的解析式可得 Asin =1，求得A=2，故f（x）=2sin（x+ ）．

（2）解：将函数y=f（x）的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 倍，

可得y=2sin（2x+ ）的图象；

再将所得函数图象向右平移 个单位，得到函数y=g（x）=2sin[2（x﹣ ）+ ]=2sin（2x﹣ ）的图象．

令2kπ﹣ ≤2x﹣ ≤2kπ+ ，求得 kπ﹣ ≤x≤kπ+ ，

故g（x）的增区间为[kπ﹣ ，kπ+ ]，k∈z．

【解析】（1）由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，再把（0，1）代入函数的解析式求得A的值，可得函数f（x）的解析式．（2）由题意根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，令2kπ﹣ ≤2x﹣ ≤2kπ+ ，求得x的范围，可得g（x）的增区间．
【考点精析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换对题目进行判断即可得到答案，需要熟知图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象．