Question

已知函数f(x)=x³-x²+bx+c.

(1)若f(x)的图象有与x轴平行的切线，求b的取值范围；

(2)若f(x)在x=1时取得极值，且x∈［-1,2］时f(x)＜c²恒成立，求c的取值范围.

Answer 1

解:(1)f′(x)=3x²-x+b，

     f(x)的图象上有与x轴平行的切线，则f′(x)=0有实数解，

    即方程3x²-x+b=0有实数解，

    由Δ=1-12b≥0，得b≤.

    (2)由题意，x=1是方程3x²-x+b=0的一个根，设另一根为x₀，

    则∴

    ∴f(x)=x³-x²-2x+c,

     f′(x)=3x²-x-2.

    当x∈(-1,-)时，f′(x)＞0；

     x∈(-,1)时，f′(x)＜0；

     x∈(1,2)时，f′(x)＞0.

    ∴当x=-时，f(x)有极大值+c.

    又f(-1)=+c,f(2)=2+c,

    即当x∈［-1,2］时，f(x)的最大值为f(2)=2+c.

    ∵对x∈［-1,2］时,f(x)＜c²恒成立，

    ∴c²＞2+c.

    解得c＜-1或c＞2.

    故c的取值范围为(-∞,-1)∪(2,+∞).