Question

已知函数f(x)=,x∈［1,+∞).

(1)当a=时,求函数f(x)的最小值;

(2)若对于任意x∈［1,+∞),f(x)＞0恒成立,试求实数a的取值范围.

Answer 1

解：(1)当a=时,f(x)=x∈［1,+∞).

由f′(x)=,当x∈［1,+∞)时,f′(x)＞0,

∴函数f(x)是增函数.

∴当x=1时,f(x)的最小值为.

(2)对任意x∈［1,+∞),f(x)＞0恒成立,即对任意x∈［1,+∞)恒成立,∴x²+2x+a＞0对任意x∈［1,+∞)恒成立.设g(x)=x²+2x+a,则g′(x)=2x+2.

当x∈［1,+∞)时,g′(x)＞0,

∴函数g(x)是增函数.

∴当x=1时,g(x)取得最小值3+a.

由题意，知3+a＞0,

∴a＞-3.