Question

设f（x）是定义在R上的增函数，且对任意实数x，y均有f（x-y）=f（x）-f（y）．
（Ⅰ）求f（0），并证明f（x）是R上的奇函数；
（Ⅱ）若f（1）=2，解关于x的不等式f（x）-f（8-x）≤4．

Answer 1

分析：（Ⅰ）令x=y得f（0）=0；再令x=0⇒f（-y）=-f（y），于是可证得f（x）是R上的奇函数；
（Ⅱ）依题意，f（x）-f（8-x）≤4?f（2x-8）≤f（2），利用f（x）是R上的增函数，即可求得x的不等式f（x）-f（8-x）≤4的解集．

解答：解：（Ⅰ）令x=y得f（0）=0；
令x=0得，对任意实数y有f（-y）=f（0）-f（y）=-f（y），
故f（x）是R上的奇函数；
（Ⅱ）∵f（1）=2，令x=1，y=-1得f（2）=f（1）-f（-1）=f（1）+f（1）=4，
f（x）-f（8-x）≤4?f[x-（8-x）]≤f（2）?f（2x-8）≤f（2），
由f（x）是R上的增函数知，
f（2x-8）≤f（2）?2x-8≤2，
解得x∈（-∞，5]．

点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查函数奇偶性的判断与单调性的应用，属于中档题．