题目内容

已知函数f(x)=xn-
4x
，且f（4）=3．
（1）判断f（x）的奇偶性并说明理由；
（2）判断f（x）在区间（0，+∞）上的单调性，并证明你的结论．
分析：（1）由函数f(x)=xn-
4
x
，且f（4）=3，可求出n值，进而得到函数的解析式，结合函数奇偶性的定义，分析f（-x）与f（x）的关系，可得答案．
（2）由（1）中函数的解析式，任取x1，x2，且0＜x1＜x2，作差判断f（x1）与f（x2）的大小，进而结合函数单调性的定义，可得答案．
解答：解：（1）由f（4）=3得：n=1．…（2分）
∴f(x)=x-
4
x
，其定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）．…（3分）
又f(-x)=-x-
4
-x
=-(x-
4
x
)=-f(x)．…（5分）
∴函数f（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上为奇函数．…（6分）
（2）函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．…（7分）
证明如下：
任取x1，x2，且0＜x1＜x2，…（8分）
则x1-x2＜0，x1x2＞0
那么f(x1)-f(x2)=(x1-
4
x1
)-(x2-
4
x2
)=
(x1-x2)(x1x2+4)
x1x2
＜0
即f（x1）＜f（x2）．…（13分）
∴函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．…（14分）
点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的判断，函数单调性的判断与证明，是函数图象和性质的综合应用，熟练掌握函数奇偶性和单调性的定义是解答的关键．
练习册系列答案
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已知函数f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)为偶函数，且f（3）＜f（5）．
（1）求m的值，并确定f（x）的解析式；
（2）若g（x）=loga[f（x）-ax]（a＞0且a≠1），是否存在实数a，使g（x）在区间[2，3]上的最大值为2，若存在，请求出a的值，若不存在，请说明理由．
（2011•上海模拟）已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

已知函数f(x)的图像在[a，b]上连续不断，f1(x)＝min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，f2(x)＝max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，其中，min{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最小值，max{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最大值，若存在最小正整数k，使得f2(x)－f1(x)≤k(x－a)对任意的x∈[a，b]成立，则称函数f(x)为[a，b]上的“k阶收缩函数”．已知函数f(x)＝x2，x∈[－1，4]为[－1，4]上的“k阶收缩函数”，则k的值是_________．
已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．
已知函数f（x）、g（x），下列说法正确的是（ ）
A．f（x）是奇函数，g（x）是奇函数，则f（x）+g（x）是奇函数
B．f（x）是偶函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）是偶函数
C．f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）一定是奇函数或偶函数
D．f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）可以是奇函数或偶函数

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