Question

已知函数f（x）=|x-2|，若a≠0，且a，b∈R，都有不等式|a+b|+|a-b|≥|a|•f（x）成立，则实数x的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：先分离出含有a，b的式子，即

1

|a|

（|a+b|+|a-b|）≥f（x）恒成立，问题转化为求左式的最小值即可．

解答：解：由题知，即

1

|a|

（|a+b|+|a-b|）≥f（x）恒成立，
故f（x）小于

1

|a|

（|a+b|+|a-b|）的最小值（4分）
∵即

1

|a|

（|a+b|+|a-b|）≥

1

|a|

（|a+b+a-b|）=2
当且仅当（a+b）（a-b）≥0时取等号，
∴

1

|a|

（|a+b|+|a-b|）的最小值等于2．（8分）
∴x的范围即为不等式|x-2|≤2的解．
解不等式得0≤x≤4．（10分）
故答案为：[0，4]．

点评：本题主要考查了不等式的恒成立问题，通常采用分离参数的方法解决，属于基础题．