Question

如图，在长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，AA₁=2，E是BB₁的中点.

(1)求证：AE⊥平面A₁D₁E；

(2)求二面角E-AD₁-A₁的正切值；

(3)求顶点A到平面C₁D₁E的距离.

Answer 1

(1)证明:长方体AC₁中，A₁D₁⊥面ABB₁A₁，

∴A₁D₁⊥AE.

又AB=1，BB₁=2，E为BB₁的中点，

∴△ABE为等腰直角三角形,AE=.

同理,A₁E=.

∴∠AEA₁=90°，即AE⊥A₁E.

∴AE⊥平面A₁D₁E.

(2)解析:取AA₁中点O，连结OE，则OE⊥AA₁，OE⊥A₁D₁，于是OE⊥平面ADD₁A₁,过O作OF⊥AD₁于F，连结EF，则AD₁⊥EF.∴∠EFO为二面角E-AD₁-A₁的平面角.

△AOF中，OF=OA·sin∠OAF=OA·,∴tan∠EFO=.

故二面角E-AD₁-A₁的正切值是.

(3)解析:∵AB∥C₁D₁,

∴AB∥平面C₁D₁E.

∴A点到平面C₁D₁E的距离等于B点到平面C₁D₁E的距离.

而A₁C是长方体，则平面C₁D₁E⊥平面BC₁.延长C₁E与CB的延长线交于N，则平面C₁D₁E与平面BC₁的交线为C₁N.

过B在平面C₁NC内作BM⊥C₁N，垂足为M，则BM的长就是B点到平面C₁D₁E的距离.

依题意，得EN·BM=BE·BN,

即××BM=×1×1.

∴BM=.故A点到平面C₁D₁E的距离为.

小结：本题以棱柱为载体考查空间角和距离问题的计算，实质就是利用棱柱性质，结合线面关系，找出该角或距离进行解三角形.