Question

设定义在[x₁，x₂]上的函数y＝f(x)的图象为C，C的端点为点A、B，M是C上的任意一点，向量＝(x₁，y₁)，＝(x₂，y₂)，＝(x，y)，若x＝λx₁＋(1－λ)x₂，记向量＝λ＋(1－λ)．现在定义“函数y＝f(x)在[x₁，x₂]上可在标准k下线性近似”是指≤k恒成立，其中k是一个人为确定的正数．

(1)证明：0＜λ≤1；

(2)请你给出一个标准k的范围，使得[0，1]上的函数y＝x²与y＝x³中有且只有一个可在标准k下线性近似．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由题意，x1≤x≤x2，即x1≤x1＋(1－)x2≤x2，∴x1－x2≤(x1－x2) ≤0． 　　∵x1－x2＜0，∴0≤≤1．(4分) 　　(2)由＝＋(1－)，得＝． 　　所以B、N、A三点在一条直线上．又由(1)的结论，N在线段AB上，且与点M的横坐标相同． 　　对于[0，1]上的函数y＝x2，A(0，0)，B(1，1)，则有||＝x－x2＝，故||． 　　对于[0，1]上的函数y＝x3，则有||＝x－x3＝g(x)．在(0，1)上，g′(x)＝1－3x2， 　　可知在(0，1)上y＝g(x)只有一个极大值点x＝，所以函数y＝g(x)在(0，)上是增函数；在(，1)上是减函数．又g()＝，故||[0，]． 　　经过比较，＜，所以取k[，)，则有函数y＝x2在[0，1]上可在标准k下线性近似，函数y＝x3在[0，1]上不可在标准k下线性近似．(16分)