Question

已知函数f（x）=log_a（x+1），g（x）=log_a（1-x），（a＞0且a≠1）
（1）求函数F（x）=f（x）-g（x）的定义域；
（2）判断F（x）=f（x）-g（x）的奇偶性，并说明理由；
（3）确定x为何值时，有f（x）-g（x）＞0．

Answer 1

解：（1）由 解得-1＜x＜1，故函数F（x）=f（x）-g（x）的定义域为（-1，1）．
（2）由于F（x）=f（x）-g（x）的 定义域为（-1，1），关于原点对称，
F（-x）=f（-x）-g（-x）=log_a（1-x）-log_a（1+x）=-[f（x）-g（x）]=-F（x），
故F（x）=f（x）-g（x）是奇函数．
（3）f（x）-g（x）＞0，即 log_a（1+x）＞log_a（1-x）．
当 0＜a＜1时，有 0＜1+x＜1-x，即-1＜x＜0．
当 a＞1时，有 1+x＞1-x＞0，即 0＜x＜1．
综上可得，当 0＜a＜1时，若-1＜x＜0，则有f（x）-g（x）＞0；
当 a＞1时，若0＜x＜1，则有f（x）-g（x）＞0．
分析：（1）由 求得函数F（x）=f（x）-g（x）的定义域．
（2）由于F（x）的定义域为（-1，1），关于原点对称，且有F（-x）=-F（x），可得函数为奇函数．
（3）f（x）-g（x）＞0，即 log_a（1+x）＞log_a（1-x）．分 0＜a＜1和a＞1两种情况，分别求出x的范围．
点评：本题主要考查求函数的定义域的方法，函数的单调性的定义和证明，解对数不等式，属于中档题．