Question

【题目】已知函数f（x）=g（x）﹣（a﹣1）lnx，g（x）=ax+ +1﹣3a+（a﹣1）lnx．
（1）当a=1时，求函数y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）若不等式g（x）≥0在x∈[1，+∞）时恒成立，求正实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=1时，f（x）=x+ ﹣2，f′（x）=1﹣ ，

∴f′（2）= ，f（2）= ，

∴函数y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y﹣ = （x﹣2），

即3x﹣4y﹣4=0

（2）解：g′（x）= ，

0＜a＜ 时，g′（x）＞0，得x＞ ﹣2，

令g′（x）＜0，得1＜x＜ ﹣2，

∴g（x）在（1， ﹣2）上是减函数，

∴x∈（1， ﹣2），g（x）＜g（1）=0，

与g（x）≥0在x∈[1，+∞）时恒成立矛盾，

a≥ ，g′（x）≥0在x∈[1，+∞）时恒成立，

g（x）在[1，+∞）为增函数，

∴g（x）≥g（1）=0，符合题意，

综上所述，a≥

【解析】（1）当a=1时，求导数，确定切线的斜率，即可求出切线方程；（2）求出函数的导数，分类讨论，利用g′（x）≥0在x∈[1，+∞）时恒成立，即可得出结论．
【考点精析】本题主要考查了函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．