Question

已知奇函数f（x）的定义域是R，且f（x）=f（1-x），当0≤x≤

1

2

时，f（x）=x-x²．
（1）求证：f（x）是周期函数；
（2）求函数f（x）在区间[1，2]上的解析式；
（3）求函数f（x）的值域．

Answer 1

（1）f（x+2）=f（1-（x+2））=f（-x-1）=-f（x+1）=-f（1-（x+1））=-f（-x）=f（x），
所以f（x）是周期为2的函数．
（2）∵当x∈[

1

2

，1]时，f（x）=f（1-x）=（1-x）-（1-x）²=x-x²，
∴x∈[0，1]时，f（x）=x-x²
∴当x∈[1，2]时，f（x）=f（x-2）=-f（2-x）=（2-x）²-（2-x）=x²-3x+2．
∴当x∈[1，2]时，f（x）=x²-3x+2．
（3）由函数是以2为周期的函数，故只需要求出一个周期内的值域即可，由（2）知

f(x)= x-x2   (0≤x≤1) x+x2   (-1≤x≤0)

，
故在[-1，1]上函数的值域是[-

1

4

，

1

4

]，
故值域为[-

1

4

，

1

4

]．