Question

如图，点P（3，4）为圆x²+y²=25上的一点，点E，F为y轴上的两点，△PEF是以点P为顶点的等腰三角形，直线PE，PF交圆于D，C两点，直线CD交y轴于点A，则sin∠DAO的值为    ．

Answer 1

【答案】分析：要求sin∠DAO的值，由于A为一动点，故无法直接解三角形求出答案，我们可以构造与∠DAO相等的角，然后进行求解，过P点作x轴平行线，交圆弧于G，连接OG根据等腰三角形性质及垂径定理，结合同角或等角的余角相等，我们可以判断∠DAO=∠PGO，进而得到结论．
解答：解：过P点作x轴平行线，交圆弧于G，连接OG．
则：G点坐标为（-3，4），PG⊥EF
∵PEF是以P为顶点的等腰三角形
∴PG就是角DPC的平分线
∴G就是圆弧CD的中点
∴OG⊥CD
∴∠DAO+∠GOA=90°．
而∠PGO+∠GOA=90°．
∴∠DAO=∠PGO
∴sin∠DAO=sin∠PGO=．
故答案为：．
点评：本题考查的知识点是三角函数求值，其中利用腰三角形性质及垂径定理，结合同角或等角的余角相等，构造与∠DAO相等的角∠PGO，是解答本题的关键．