Question

在△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c且（a+b+c）（a-b+c）=ac．
（Ⅰ）求B的值；
（Ⅱ）若b=2

7

，S△ABC=2

3

，求a，c的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）已知等式化简整理后得到关系式，利用余弦定理表示出cosB，将得出的关系式代入求出cosB的值，即可确定出B的度数；
（Ⅱ）利用三角形面积公式表示出三角形ABC面积，将sinB，以及已知面积代入求出ac的值，再利用余弦定理列出关系式，变形后将ac的值代入求出a+c的值，联立即可求出a与c的值．

解答：解：（Ⅰ）由（a+b+c）（a-b+c）=ac，
整理得（a+c）²-b²=ac，
即a²+c²-b²=-ac，
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

-ac

2ac

=-

1

2

，
∵B∈（0，π），
∴B=

2π

3

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知sinB=

3

2

，
∵S_△ABC=2

3

，
∴

1

2

acsinB=

1

2

ac×

3

2

=2

3

，即ac=8①，
∵b=2

7

，cosB=-

1

2

，
∴由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，
即28=a²+c²+ac，即（a+c）²-ac=28，
把ac=8代入可得：（a+c）²-8=28，
即（a+c）²=36，
∴a+c=6②，
联立①②可解得a=2，c=4或a=4，c=2．

点评：此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．