Question

【题目】已知⊙O：x2+y2=1和定点A（2，1），由⊙O外一点P（a，b）向⊙O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|=|PA|．
（1）求实数a，b间满足的等量关系；
（2）求线段PQ长的最小值；
（3）若以P为圆心所作的⊙P与⊙O有公共点，试求半径最小值时⊙P的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：连接OQ，∵切点为Q，PQ⊥OQ，由勾股定理可得 PQ2=OP2﹣OQ2．

由已知PQ=PA，可得 PQ2=PA2，即 （a2+b2）﹣1=（a﹣2）2+（b﹣1）2．

化简可得 2a+b﹣3=0

（2）解：

∵PQ= = = = ，

故当a= 时，线段PQ取得最小值为

（3）解：若以P为圆心所作的⊙P 的半径为R，由于⊙O的半径为1，∴|R﹣1|≤PO≤R+1．

而OP= = = ，故当a= 时，PO取得最小值为 ，

此时，b=﹣2a+3= ，R取得最小值为 ﹣1．

故半径最小时⊙P 的方程为 + =

【解析】（1）由勾股定理可得 PQ2=OP2﹣OQ2=PA2 ， 即 （a2+b2）﹣1=（a﹣2）2+（b﹣1）2 ， 化简可得a，b间满足的等量关系．（2）由于 PQ= = ，利用二次函数的性质求出它的最小值．（3）设⊙P 的半径为R，可得|R﹣1|≤PO≤R+1．利用二次函数的性质求得OP= 的最小值为 ，此时，求得b=﹣2a+3= ，R取得最小值为 ﹣1，从而得到圆的标准方程．