Question

已知函数f(x)=

(x+1)2

x2+1

(x∈R)的最大值为M，最小值为m，则M+m=

 

．

Answer 1

分析：根据分式函数的性质，将函数f（x）分解为f（x）=1+

2x

x2+1

，然后根据函数的奇偶性的对称性，建立条件关系即可得到结论．

解答：解：∵f(x)=

(x+1)2

x2+1

(x∈R)，
∴f（x）=

x2+2x+1

x2+1

=1+

2x

x2+1

，
则函数f（x）-1=

2x

x2+1

为奇函数，
则函数g（x）=

2x

x2+1

的最大值a和最小值b之和为0，即a+b=0
将函数g（x）的图象向上平移一个单位得到函数f（x）的最大值M=a+1．最小值为N=b+1，
∴M+N=a+1+b+1=a+b+2=2．
故答案为：2．

点评：本题主要考查函数最值的求法，根据条件构造奇函数，利用奇函数最值的对称性是解决本题的关键，本题综合考查函数性质的综合应用．是个好题．