Question

已知：f(x)=cosx-cos(x+

π

3

)．
（1）求函数f（x）在R上的最大值和最小值；
（2）在三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f（A）=1，三角形ABC的面积为6

3

，b=4，求边a的值．

Answer 1

分析：（1）函数解析式利用和差化积公式变形，整理为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域即可确定出最大值以及最小值；
（2）根据f（A）=1，求出A的度数，确定出sinA与cosA的值，利用三角形的面积公式，根据已知的面积求出c的值，再利用余弦定理即可求出a的值．

解答：解：（1）f（x）=-2sin（x+

π

6

）sin（-

π

6

）=sin（x+

π

6

），
∴当x+

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z，即x=2kπ+

π

3

，k∈Z时，f（x）_max=1，当x+

π

6

=2kπ-

π

2

，k∈Z，即x=2kπ-

2π

3

，k∈Z时，f（x）_min=-1；
（2）∵f（A）=sin（A+

π

6

）=1，A为三角形的内角，
∴A=

π

3

，
又S_△ABC=

1

2

bcsinA=6

3

，即

1

2

×4c×

3

2

=6

3

，
∴c=6，
根据余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=28，
解得：a=2

7

．

点评：此题考查了余弦定理，三角函数中的恒等变换应用，积化和差公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．