Question

已知定义域为R的函数f（x）=

b-2x

2x+a

是奇函数．
（1）求a，b的值；
（2）若对于任意t∈[1，2]，不等式f（t²+2）+f（2t²-kt）＜0恒成立，求k的范围．

Answer 1

分析：（1）根据函数奇偶性的定义，建立方程即可求a，b的值；
（2）根据奇偶性和函数的单调性的性质，将不等式f（t²+2）+f（2t²-kt）＜0进行转化，即可求k的范围．

解答：解：（1）∵定义域为R的函数f（x）=

b-2x

2x+a

是奇函数．
∴f（0）=0，即f（0）=

b-1

1+a

=0，解得b=1，
此时f（x）=

1-2x

2x+a

，
又f（-x）=-f（x），
∴

1-2-x

2-x+a

=-

1-2x

2x+a

，
即

2x-1

1+a?2x

=

2x-1

2x+a

，
∴a=1．
即a=1，b=1．
（2）∵a=1，b=1．
∴f（x）=

1-2x

2x+1

=

-(2x+1)+2

2x+1

=-1+

2

2x+1

，为减函数．
不等式f（t²+2）+f（2t²-kt）＜0等价为f（t²+2）＜-f（2t²-kt），
即不等式f（t²+2）＜f（-2t²+kt），
∵函数f（x）为减函数，
∴t²+2＞-2t²+kt，
即3t²-kt+2＞0在t∈[1，2]上恒成立．
∴k＜

3t2+2

t

=3t+

2

t

，
令g（t）=3t+

2

t

，
则g'（t）=3-

2

t2

=

3t2-2

t2

，
当t∈[1，2]，g'（t）＞0，此时函数单调递增，
∴g（t）的最小值为g（1）=3+2=5，
∴k＜5．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，以及利用函数单调性的性质解不等式问题，综合性较强．