Question

已知函数f（x）=lnx+

a

x

-2，g（x）=lnx+2x
（I）求函数f（x）的单调区间；
（II）试问过点（2，5）可作多少条直线与曲线y=g（x）相切？请说明理由．

Answer 1

分析：（I）对函数f（x）求导，当导数f'（x）大于0时可求单调增区间，当导数f'（x）小于0时可求单调减区间．
（II） 先表示出过点（2，5）与曲线y=g（x）相切的直线，进而假设函数，可求得切线的条数．

解答：解：（I） 由题意得，函数的定义域为（0，+∞），f/(x)=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）
当a＞0时，令 f^′（x）＞0，x＞a
令 f^′（x）＜0，0＜x＜a
故f（x）的单调递增区间为 （a，+∞），单调递减区间为（0，a）
（II） 设切点为（m，n）
g/(x)=

1

x

+2
∴

1

m

+2=

n-5

m-2

，n=lnm+2m
∴lnm+

2

m

-2=0
令h(x)=lnx+

2

x

-2
∴h/(x)=

1

x

-

2

x2

由导数为0可得，x=2，
∴h（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增 
∴h（x）与x轴有两个交点
∴过点（2，5）可作2条曲线y=g（x）的切线．

点评：本题主要考查通过求函数的导数来确定函数增减区间的问题，考查利用导数解决切线问题，有一定的综合性．．