Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦点F（1，0），离心率为

1

2

．过点F的直线l交椭圆C于A，B两点，且

27

11

≤|FA|•|FB|≤3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求直线l的斜率的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆的离心率公式、关系式a²=b²+c²即可得出a、b，进而得到椭圆的标准方程；
（2）把直线的方程与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系及已知条件即可得出斜率的取值范围．

解答：解：（1）由已知得：c=1，

c

a

=

1

2

，
∴a=2，b²=a²-c²=3，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1
（2）设直线l的方程为y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

，
得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
∵直线l过焦点F，∴△＞0，
且x1+x2=

8k2

3+4k2

，x1x2=

4k2-12

3+4k2

，
∴|FA|=

(x1-1)2+ y 2 1

=

1+k2

|x1-1|，
同理|FB|=

1+k2

|x2-1|，
故|FA|•|FB|=（1+k²）|（x₁-1）（x₂-1）|=(1+k2)|x1x2-(x1+x2)+1|=

9(1+k2)

3+4k2

．
由

27

11

≤|FA|•|FB|≤3，∴

27

11

≤

9(1+k2)

3+4k2

≤3，解得0≤k²≤2．
所以直线l的斜率k的取值范围是[-

2

，

2

]．

点评：熟练掌握椭圆的定义及性质、直线与椭圆的相交问题的解题方法、根与系数的关系、不等式的解法是解题的关键．