Question

19．在平面直角坐标系中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1-cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α位参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立的极坐标系中，曲线C₂的方程为ρ=2sinθ．
（1）求C₁和C₂的普通方程；
（2）求C₁和C₂公共弦的垂直平分线的极坐标方程．

Answer 1

分析 （1）把已知参数方程变形，平方作和得普通方程；把极坐标方程两边同时乘以ρ，代入ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ得答案；
（2）由（1）求出两圆的圆心坐标，直接求出过C₁，C₂的直线方程得答案．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{x=1-cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x-1=-cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$，两式平方相加得（x-1）²+y²=1；
由ρ=2sinθ，得ρ²=2ρsinθ，即x²+y²-2y=0；
（2）圆C₁的圆心坐标为（1，0），圆C₂的圆心坐标为（0，1），
则C₁和C₂公共弦的垂直平分线即为过C₁，C₂的直线，方程为x+y=1，
化为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=1，即$ρcos（θ-\frac{π}{4}）=\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查简单曲线的极坐标方程，考查了参数方程化普通方程，极坐标与直角坐标方程的互化，是基础题．