Question

偶函数f（x）满足f（x+1）=f（x-1），且在x∈[0，1]时，f（x）=1-x，则函数g（x）=f（x）-（）^x在[0，3]上的零点的个数是

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   4

Answer 1

D
分析：根据已知条件推导函数f（x）的周期，再利用函数与方程思想把问题转化，画出函数的图象，即可求解．
解答：解：∵f（x-1）=f（x+1）
∴f（x）=f（x+2），
∴原函数的周期T=2．
又∵f（x）是偶函数，
∴f（-x）=f（x）．
又∵x∈[0，1]时，f（x）=x，函数的周期为2，
∴原函数的对称轴是x=1，且f（-x）=f（x+2）．
设 y₁=f（x），y₂=（）x，
函数g（x）=f（x）-（）^x在[0，3]上的零点的个数
即为函数y1=f（x），y₂=（）x的图象交点的个数．
由以上条件，可画出y₁=f（x），y₂=（）x的图象：
又因为当x=1时，y₁＞y₂，∴在（0，1）内有一个交点．
∴结合图象可知，在[0，3]上y₁=f（x），y₂=（）x共有4个交点．
函数g（x）=f（x）-（）^x有4个零点
故选D．
点评：本题考查函数的性质，函数与方程思想，数形结合思想．转化思想，属中档题．