Question

已知动点P与双曲线x²－y²＝1的两个焦点F₁，F₂的距离之和为定值，且cos∠F₁PF₂的最小值为－．

(1)求动点P的轨迹方程；

(2)设M(0，－1)，若斜率为k(k≠0)的直线l与P点的轨迹交于不同的两点A、B，试求k的取值范围，使|MA|＝|MB|．

Answer 1

答案：
解析：

＋y2＝1；k∈(－1，0)∪(0，1) (1)∵x2－y2＝1，∴c2＝1＋1＝2，c＝ 设|PF1|＋|PF2|＝2a(常数a＞0)，由2a＞2c＝2，∴a＞ 由余弦定理有cos∠F1PF2＝ 　　　　　　　　　　　＝ 　　　　　　　　　　　＝－1 ∵|PF1||PF2|≤()2＝a2 ∴当且仅当|PF1|＝|PF2|时，|PF1||PF2|取得最大值a2． 此时cos∠F1PF2取得最小值－1 由题意－1＝－，解得a2＝3 ∴P点的轨迹方程为＋y2＝1 ① (2)设l：y＝kx＋m(k≠0) ② 与①联立得 ②代入①得：(1＋3k2)x2＋6kmx＋3(m2－1)＝0 (*) 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB中点Q(x0，y0)的坐标满足 x0＝ 即Q(－) ∵|MA|＝|MB|，∴M在AB的中垂线上 ∴klkAB＝k·＝－1 解得m＝ ③ 又由(*)由两个实数根，知△＞0，即 (6km)2－4(1＋3k2)[3(m2－1)]＝12(1＋3k2－m2)＞0 ④ 将③代入④得 12[1＋3k2－()2]＞0 解得－1＜k＜1， 由k≠0，∴k的取值范围是k∈(－1，0)∪(0，1)