题目内容
已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），x∈R的最大值是1，最小正周期是2π，其图象经过M（0，1）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设A、B、C为△ABC的三个内角，且f（A）=
，f（B）=
，求f（C）的值．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设A、B、C为△ABC的三个内角，且f（A）=
| 3 |
| 5 |
| 5 |
| 13 |
分析：（1）根据题意，得正数A=1．利用三角函数周期公式算出ω=1．再由M（0，1）在函数图象上，建立方程解出φ=
，即可得到f（x）的解析式；
（2）由（1）得f（x）=cosx，从而得到f（A）=cosA=
且f（B）=cosB=
．利用同角三角函数的基本关系算出sinA=
，sinB=
，再根三角形的内角和与据诱导公式算出cosC=-cos（A+B）=sinAsinB-cosAcosB=
，即可得到 f（C）的值为cosC=
．
| π |
| 2 |
（2）由（1）得f（x）=cosx，从而得到f（A）=cosA=
| 3 |
| 5 |
| 5 |
| 13 |
| 4 |
| 5 |
| 12 |
| 13 |
| 33 |
| 65 |
| 33 |
| 65 |
解答：解：（1）因为函数f（x）的最大值是1，且A为正数，所以A=1．
因为函数f（x）的最小正周期是2π，且ω＞0，所以T=
=2π，解得ω=1．
所以f（x）=sin（x+φ）．
∵函数f（x）的图象经过点M（0，1），∴sinφ=1．
结合0＜φ＜π，可得φ=
，得f（x）=sin（x+
）=cosx．
（2）由（1）得f（x）=cosx，所以f（A）=cosA=
且f（B）=cosB=
．
∵A、B∈（0，π），∴sinA=
=
，sinB=
=
．
可得cosC=-cos（A+B）=sinAsinB-cosAcosB=
×
-
×
=
∴f（C）的值为cosC=
．
因为函数f（x）的最小正周期是2π，且ω＞0，所以T=
| 2π |
| ω |
所以f（x）=sin（x+φ）．
∵函数f（x）的图象经过点M（0，1），∴sinφ=1．
结合0＜φ＜π，可得φ=
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
（2）由（1）得f（x）=cosx，所以f（A）=cosA=
| 3 |
| 5 |
| 5 |
| 13 |
∵A、B∈（0，π），∴sinA=
| 1-cos2A |
| 4 |
| 5 |
| 1-cos2B |
| 12 |
| 13 |
可得cosC=-cos（A+B）=sinAsinB-cosAcosB=
| 4 |
| 5 |
| 12 |
| 13 |
| 3 |
| 5 |
| 5 |
| 13 |
| 33 |
| 65 |
∴f（C）的值为cosC=
| 33 |
| 65 |
点评：本题给出三角函数图象满足的条件，求函数的表达式并依此求特殊的函数值，着重考查了三角函数的图象与性质、同角三角函数的关系和两角和的余弦公式等知识，属于中档题．
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