Question

（2013•资阳二模）某部门对当地城乡居民进行了主题为“你幸福吗？”的幸福指数问卷调査，并在已被问卷调查的居民中随机抽选部分居民参加“幸福职业”或“幸福愿景”的座谈会，被邀请的居民只能选择其中一场座谈会参加．已知A小区有1人，B小区有3人收到邀请并将参加一场座谈会，若A小区已经收到邀请的人选择参加“幸福愿景”座谈会的概率是

3

4

，B小区已经收到邀请的人选择参加“幸福愿景”座谈会的概率是

1

2

．
（Ⅰ）求A、B两个小区已收到邀请的人选择“幸福愿景”座谈会的人数相等的概率；
（Ⅱ）在参加“幸福愿景”座谈会的人中，记A、B两个小区参会人数的和为 ξ，试求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）记“A、B两小区已经收到邀请的人选择“幸福愿景”座谈会的人数相等”为事件A，由题意可得P（A）=（1-

3

4

）×

C

0 3

(

1

2

)3+

3

4

×

C

1 3

(

1

2

)3，计算可得；
（Ⅱ）随机变量ξ的可能值为0，1，2，3，4．分别求其对应的概率值，可得ξ的分布列，即可计算数学期望．

解答：解析 （Ⅰ）记“A、B两小区已经收到邀请的人选择“幸福愿景”座谈会的人数相等”为事件A，
则P（A）=（1-

3

4

）×

C

0 3

(

1

2

)3+

3

4

×

C

1 3

(

1

2

)3=

5

16

．（4分）
（Ⅱ）随机变量ξ的可能值为0，1，2，3，4．
P（ξ=0）=（1-

3

4

）×（1-

1

2

）³=

1

32

；P（ξ=1）=

3

4

×（1-

1

2

）³+（1-

3

4

）×

C

1 3

(

1

2

)3=

6

32

；
P（ξ=2）=

3

4

×

C

1 3

（1-

1

2

）³+（1-

3

4

）×

C

2 3

(

1

2

)3=

12

32

；
P（ξ=3）=

3

4

×

C

2 3

（

1

2

）³+（1-

3

4

）×(

1

2

)3=

10

32

；
P（ξ=4）=

3

4

×（

1

2

）³=

3

32

；（每对一个给1分）（9分）
故ξ的分布列如下：

ξ	0	1	2	3	4
P	1 32	6 32	12 32	10 32	3 32

（10分）
∴ξ的数学期望Eξ=0×

1

32

+1×

6

32

+2×

12

32

+3×

10

32

+4×

3

32

=

9

4

（12分）

点评：本题考查离散型随机变量的期望与方程，涉及等可能事件的概率，属中档题．