Question

已知函数f（x）=

1

2

e^2x-ax（a∈R，e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若a=1，函数g（x）=（x-m）f（x）-

1

4

e^2x+x²+x在区间（0，+∞）上为增函数，求整数m 的最大值．

Answer 1

分析：（1）先求导数，对参数a分类讨论，分别令导数大于零，小于零，解出x的范围即可；
（2）由于函数g（x）在区间（0，+∞）上为增函数，则其导函数g^′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，再分离参数m得到m≤

x+1

e2x-1

+x在（0，+∞）恒成立，此时问题变为求函数

x+1

e2x-1

+x在区间（0，+∞）上的最小值问题．

解答：解：（Ⅰ）定义域为（-∞，+∞），f′（x）=e^2x-a，
当a≤0时，f′（x）＞0，所以f（x）在（-∞，+∞）上为增函数；…（2分）
当a＞0时，由f^′（x）=0得x=

lna

2

，且当x∈(-∞，

lna

2

)时，f^′（x）＜0，
当x∈(

lna

2

，+∞)时f^′（x）＞0，
所以f（x）在x∈(-∞，

lna

2

)为减函数，在x∈(

lna

2

，+∞)为增函数．…（4分）
（Ⅱ）当a=1时，g(x)=(x-m)(

1

2

e2x-x)-

1

4

e2x+x2+x，
若g（x）在区间（0，+∞）上为增函数，
则g′（x）=（x-m）（e^2x-1）+x+1≥0在（0，+∞）恒成立，
即m≤

x+1

e2x-1

+x在（0，+∞）恒成立，
令h(x)=

x+1

e2x-1

+x，x∈（0，+∞）；…（6分）
h′(x)=

e2x(e2x-2x-3)

(e2x-1)2

，x∈（0，+∞）；令L（x）=e^2x-2x-3，
可知L(

1

2

)=e-4＜0，L（1）=e²-5＞0，
又当x∈（0，+∞）时L′（x）=2e^2x-2＞0，
所以函数L（x）=e^2x-2x-3在x∈（0，+∞）只有一个零点，…（8分）
设为a，即e^2a=2a+3，且a∈(

1

2

，1)；
由上可知当x∈（0，a）时L（x）＜0，即h′（x）＜0；当x∈（a，+∞）时L（x）＞0，即h^′（x）＞0，
所以h(x)=

x+1

e2x-1

+x，x∈（0，+∞），有最小值h(a)=

a+1

e2a-1

+a，…（10分）
将e^2a=2a+3代入上式可得h（a）=

1

2

+a，又因为a∈(

1

2

，1)，所以h（a）∈(1，

3

2

)，
由于m≤h（x）恒成立，所以m≤h（a），又因为m为整数，
所以m≤1，所以整数m的最大值为1．…（12分）

点评：本题考查倒数的综合应用，属于中档题，要求考生会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值．掌握不等式恒成立时所取的条件．