Question

已知函数f（x）=|2x+1|-|x-3|
（1）解不等式f（x）≤4
（2）若不等式f（x）+a≥0解集为R，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据绝对值的意义去绝对值并分类讨论，分别解关于x的不等式f（x）≤4，最后将各部分得到的解集取并集，即可得到原不等式的解集．
（2）由（1）得到f（x）的分段函数表达式，根据一次函数的单调性可得函数在R上先减后增，得到函数的最小值为-

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．而不等式f（x）+a≥0解集为R即f（x）≥-a恒成立，可得-

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≥-a，解之即可得到实数a的取值范围．

解答：解：（1）①当x＜-

1

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时，2x+1与x-3都是负数，
∴f（x）=|2x+1|-|x-3|=（-2x-1）-（3-x）=-x-4．
此时f（x）≤4即-x-4≤4，解之得-8≤x＜-

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；
②当-

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≤x≤3时，2x+1是正数而x-3都是负数，
∴f（x）=|2x+1|-|x-3|=（2x+1）-（3-x）=3x-2．
此时f（x）≤4即3x-2≤4，解之得-

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≤x≤2；
③当x＞3时，2x+1与x-3都是正数，
∴f（x）=|2x+1|-|x-3|=（2x+1）-（x-3）=x+4．
此时f（x）≤4即x+4≤4，解集为空集，
综上所述，不等式f（x）≤4的解集是{x|-8≤x≤2}．
（2）由（1）的计算可得f（x）=

-x-4，    (x＜- 1 2 ) 3x-2，          (- 1 2 ≤x≤3) x+4，            (x＞3)

，
根据一次函数的单调性，可得f（x）在（-∞，-

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）上为减函数，
在（-

1

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，3）上为增函数且在（3，+∞）上为增函数，
∴f（x）的最小值为f（-

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）=-

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．
∵不等式f（x）+a≥0解集为R，
∴不等式f（x）≥-a恒成立，即[f（x）]_min≥-a，
可得-

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≥-a，解之得a≥

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，
∴满足不等式f（x）+a≥0解集为R的实数a的取值范围为[

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，+∞）．

点评：本题给出含有绝对值的函数f（x），解关于x的不等式并讨论不等式恒成立的问题．着重考查了绝对值的意义、函数的单调性与不等式的解法等知识，考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．