Question

（2013•江门二模）在平面直角坐标系xOy中，以Ox为始边，角α的终边与单位圆O的交点B在第一象限，已知A（-1，3）．
（1）若OA⊥OB，求tanα的值．
（2）若B点横坐标为

4

5

，求S_△AOB．

Answer 1

分析：（1）根据三角函数的定义，设B（cosα，sinα），其中α∈(0，

π

2

)．根据OA⊥OB，利用向量的数量积为零列式，可得cosα=3sinα，再由同角三角函数的商数关系可求出tana的值．
（2）根据题意，求出B的坐标为（

4

5

，

3

5

），从而得到向量

OA

、

OB

的数量积，然后运用夹角公式算出cos∠AOB=

10

10

，再用同角三角函数的平方关系算出sin∠AOB=

3 10

10

，最后根据|

OA

|=1、|

OB

|=

10

运用正弦定理的面积公式，即可得到S_△AOB的值．

解答：解：∵点B在单位圆上，且在第一象限
∴设B（cosα，sinα），α∈(0，

π

2

)
（1）∵OA⊥OB，
∴

OA

•

OB

=0，即-cosα+3sinα=0，
可得cosα=3sinα，所以tanα=

sinα

cosα

=

1

3

；
（2）∵B点横坐标为

4

5

，
∴cosα=

4

5

，可得sinα=

1-cosα2

=

3

5

（舍负）
因此B的坐标为（

4

5

，

3

5

）
∵A（-1，3），可得|

OA

|=

(-1)2+32

=

10

∴cos∠AOB=

OA • OB

| OA |•| OB |

=

-1× 4 5 +3× 3 5

10 ×1

=

10

10

由此可得，sin∠AOB=

1-cos2∠AOB

=

3 10

10

因此，S_△AOB=

1

2

|

OA

|•|

OB

|sin∠AOB=

1

2

×

10

×1×

3 10

10

=

3

2

．

点评：本题给出单位圆与角α在第一象限的交点为A，求α的正切值，并求三角形AOB的面积．着重考查了三角函数的定义、同角三角函数基本关系和向量数量积公式、夹角公式等知识，属于基础题．