题目内容
已知实数a、b、c、d满足a+b=7，c+d=5，求(a＋c)2＋(b＋d)2的最小值.
错解：(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋c2＋
＝(a2＋d2)＋(b2＋c2)＋
=2(a+b)(c+d)=70，
当且仅当a=d且b=c时取等号.
错因：两次用不等式求最值时，等号要同时取到，若a=d且b=c，则a+b=c+d，与已知a+b=7，c+d=5矛盾.不可能同时有a=d且b=c.
正解：令a+c=m，b+d=n，
则m+n=a+c+b+d=12.
(a＋c)2＋(b＋d)2＝m2＋n2≥
＝72 (当且仅当m=n，即a+c=b+d=6时取等号).
∴(a＋c)2＋(b＋d)2的最小值是72.
点评：使用不等式求最值要注意其条件，特别是“能否相等”，尽量减少确定“等号”成立的次数.“正、定、等”是均值定理在求最值时的重要条件.
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