题目内容

已知a、b、c均为实数,证明ac＜0是关于x的方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要件.

思路分析：本题要注意大前提是a、b、c均为实数，充分性:由ac＜0ax2+bx+c=0有一正根和一负根；必要性：由ax2+bx+c=0有一正根和一负根ac＜0.

证明:(1)充分性:若ac＜0,

则Δ=b2-4ac＞0,方程ax2+bx+c=0有两个相异的实根,设为x1、x2.

∵ac＜0,∴x1·x2=＜0,即x1、x2的符号相反,方程有一个正根和一个负根.

(2)必要性：若方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根,设为x1、x2,不妨设x1＜0,x2＞0,则x1x2=＜0,∴ac＜0.

由(1)(2)知ac＜0是方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件.

练习册系列答案
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已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c均为实常数，且a≠0），满足条件f（0）=f（2）=0，且方程f（x）=2x有两个相等的实数根．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）试确定一个区间P，使得f（x）在P内单调递减且不等式f（x）≥0在P内恒成立；
（3）是否存在这样的实数m、n，满足m＜n，使得f（x）在区间[m，n]内的取值范围恰好是[4m，4n]？如果存在，试求出m、n的值；如果不存在，请说明理由．

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（2）试确定一个区间P，使得f（x）在P内单调递减且不等式f（x）≥0在P内恒成立；
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（09年湖北百所重点联考文）已知方程的两个不等实根均大于2，则实数a的取值范围为    （    ）

    A． B． C．（4，9）  D．（8，9）

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