Question

设集合A={x|log

1

2

(3-x)≥-2}，B={x|

2a

x-a

＞1}，若A∩B≠∅，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：解对数不等式求得A，解分式不等式求得B，再根据A∩B≠∅，求得a的范围．

解答：解：由于集合A={x|log

1

2

(3-x)≥-2}={x|log

1

2

(3-x)≥log

1

2

4}
={x|4≥3-x＞0}={x|-1≤x＜3}，
B={x|

2a

x-a

＞1}={x|

x-3a

x-a

＜0}，
当a=0时，B=∅，不满足条件．
当 a＞0时，B={x|a＜x＜3a}，再由A∩B≠∅，可得0＜a＜3．
当a＜0时，B={x|3a＜x＜a}，再由A∩B≠∅，可得-1≤3a，即0＞a≥-

1

3

．
综上可得，a∈[-

1

3

，0）∪（0，3），
故a的范围为[-

1

3

，0）∪（0，3）．

点评：本题主要考查两个集合的交集的运算，对数函数的单调性和特殊点，分式不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．