题目内容
【题目】已知
为双曲线
的左、右焦点，过
作垂直于
轴的直线，并在轴上方交双曲线于点
，且
.
（1）求双曲线
的方程；
（2）过圆
上任意一点
作切线交双曲线于
两个不同点，
中点为
，若
，求实数
的值.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
（1）在直角三角形
，根据
可得通径的一半与焦距的关系，从该关系式中可求离心率.
（2）设
的方程为
，联立直线方程和双曲线方程，消去
后利用韦达定理可用
表示
及
，再利用与圆相切可得
，利用该式化简
可得
的值为.
（1）根据已知条件
得
，
∴焦点坐标为
，
轴，
.
在直角三角形中，
，
解得
，于是所求双曲线方程为.
（2）①当直线的斜率不存在时，则
，于是
，
此时
，
.
②当直线的斜率存在时，设的方程为，切线与
的交点坐标为
，
于是有
，消去得
.
故
.
∵
为
的中点，
即坐标为
.
则
，
，
又点
到直线的距离为
即
.
代入得：
，
，故
.
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