Question

已知函数f（x）=2cos（ωx+φ）（ω＞0，-π＜φ＜0）的最小正周期为π，其图象的一条对称轴是直线x=

π

8

．
（1）求f（x）的表达式；
（2）若α∈(0，

π

2

)且f(α+

π

8

)=-

14

25

，求f(

α

2

)的值．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=2cos（ωx+φ）（ω＞0）的最小正周期为π可求ω，f（x）图象的一条对称轴是直线x=

π

8

，-π＜φ＜0可求φ；
（2）利用二倍角的余弦，由f（α+

π

8

）=-

14

25

可求2cos2α=-

14

25

，结合题意可求cosα与sinα，从而可得f（

α

2

）的值．

解答：解：（ 1）由f（x）=2cos（ωx+φ）（ω＞0）的最小正周期为π，得

2π

ω

=π，即ω=2，（2分）
∴f（x）=2cos（2x+?），
又f（x）图象的一条对称轴是直线x=

π

8

，有2×

π

8

+φ=kπ，则φ=kπ-

π

4

，k∈Z，
而-π＜φ＜0，令k=0，得φ=-

π

4

，（5分）
∴f（x）=2cos（2x-

π

4

）；（6分）
（ 2）由f（α+

π

8

）=-

14

25

得2cos[2（α+

π

8

）-

π

4

]=2cos2α=-

14

25

，
∴cos2α=-

7

25

，（7分）
而α∈（0，π），sinα＞0，cosα＞0，（8分）
∴cos2α=2cos²α-1=1-2sin²α=-

7

25

，
∴cosα=

3

5

，sinα=

4

5

（10分）
∴f（

α

2

）=2cos（α-

π

4

）=

2

（cosα+sinα）=

7 2

5

（12分）

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查二倍角的余弦，考查两角和与差的余弦函数，考查方程思想与运算能力，属于中档题．